Negativni brojevi i skup celih brojeva Z — jasno objašnjenje nacrt
6. razredAritmetika i brojeviAžurirano 15. 10. 2026.
Klik za reprodukciju · YouTube se učitava tek na klik
Termometar pokazuje pet ispod nule, lift ima dugme −1, a na računu ti piše minus. Sve su to negativni brojevi — brojevi levo od nule. U ovoj lekciji vidiš odakle dolaze, kako se čitaju na brojevnoj pravoj i šta je skup celih brojeva.
Negativni celi brojevi su −1, −2, −3, … i nalaze se levo od nule na brojevnoj pravoj. Znak minus ispred broja nije oduzimanje — on je deo samog broja i govori nam da je broj negativan.
Brojevi a i −a zovu se suprotni brojevi. Oni su na istom rastojanju od nule, samo sa različitih strana. Suprotan broj broja 7 je −7, a suprotan broj broja −12 je 12. Nula je sama sebi suprotna.
Kada spojimo negativne brojeve, nulu i pozitivne, dobijamo skup celih brojeva koji obeležavamo sa Z — od nemačke reči Zahlen, što znači brojevi. Taj skup je beskonačan u oba smera: ne postoji ni najveći ni najmanji ceo broj.
Pozitivni celi brojevi su zapravo prirodni brojevi, pa važi Z⁺ = N. Zato su prirodni brojevi podskup celih.
Nula nije ni pozitivan ni negativan broj. Ona je granica između njih i pripada skupu Z, ali ne pripada ni Z⁺ ni Z⁻.
Česta greška
Minus ispred broja i minus kao oduzimanje nisu isto. U zapisu −7 minus je deo broja. U zapisu 12 − 7 minus je operacija. Zato je −(−5) = 5: tražimo suprotan broj od −5, a to je 5.
Zadaci za vežbu
Ovih četrnaest zadataka nije u videu. Podeljeni su u tri nivoa — kreni od grupe A i idi redom. Prvo pokušaj sam, pa tek onda otvori rešenje.
1Zapiši celim brojem:
a) 15 stepeni ispod nule
b) 8 stepeni iznad nule
c) dubina od 120 m ispod nivoa mora
d) visina od 2500 m iznad nivoa mora
e) gubitak od 40 dinara
a) −15 b) 8 c) −120 d) 2500 e) −40
Sve što je „ispod", „dubina" ili „gubitak" dobija minus. Sve što je „iznad", „visina" ili „dobitak" ostaje pozitivno.
2Napiši sve cele brojeve koji se nalaze između −4 i 3.
Reč „između" znači da krajnje brojeve ne računamo. Krećemo od −3 i idemo udesno po brojevnoj pravoj do 2.
Traženi brojevi su: −3, −2, −1, 0, 1, 2.
Ukupno šest brojeva. Ne zaboravi nulu — i ona je ceo broj.
3Odredi suprotan broj brojevima: 4, −11, 0, 25, −100.
Suprotni brojevi su: −4, 11, 0, −25, 100.
Suprotan broj dobijamo promenom znaka. Nula je jedini broj koji je sam sebi suprotan.
4Nacrtaj brojevnu pravu i na njoj označi tačke: −5, −2, 0, 3, 6.
Prvo izaberi tačku za nulu, pa jediničnu duž — to je rastojanje od 0 do 1. Udesno nanosi 1, 2, 3, … a ulevo −1, −2, −3, …
Sve jedinične duži moraju biti jednake. To je najčešća greška pri crtanju.
5Izračunaj: −(−7), −(+3), −(−(−2)).
Znak minus ispred zagrade znači „suprotan broj od onoga u zagradi".
−(−7) = 7
−(+3) = −3
−(−(−2)) = −(2) = −2
Kod poslednjeg idi iznutra ka spolja: prvo je −(−2) = 2, pa onda −2.
6Upiši znak ∈ ili ∉:
a) −3 ___ Z b) −3 ___ N c) 0 ___ Z⁺
d) 0 ___ N₀ e) 17 ___ Z⁻ f) −1 ___ Z⁻
a) ∈ b) ∉ c) ∉
d) ∈ e) ∉ f) ∈
Podseti se: prirodni brojevi su samo pozitivni, nula nije ni u Z⁺ ni u Z⁻, a N₀ je skup prirodnih zajedno sa nulom.
7Napiši skup svih celih brojeva koji su:
a) veći od −3, a manji od 2
b) između −6 i −1
c) suprotni brojevima 1, 2, 3, 4
a) {−2, −1, 0, 1}
b) {−5, −4, −3, −2}
c) {−1, −2, −3, −4}
8Tačke A, B, C, D na brojevnoj pravoj imaju koordinate −6, 2, −1, 5. Koje su koordinate tačaka koje su im simetrične u odnosu na nulu?
Simetrična tačka u odnosu na nulu je tačka na istom rastojanju od nule, ali sa druge strane. To je upravo suprotan broj.
Redom: 6, −2, 1, −5.
9Dopuni rečenice:
a) Svaki prirodan broj je ujedno i ________ broj.
b) Nula nije ni ________ ni ________ broj.
c) Skup Z⁻ ∪ {0} ∪ Z⁺ naziva se skup ________ brojeva.
d) Skupovi N i Z⁻ nemaju ________ zajednički element.
a) ceo
b) pozitivan, negativan
c) celih
d) nijedan
10Ana stoji na spratu −2, u drugoj podzemnoj garaži. Popne se 5 spratova, a zatim siđe 4 sprata. Na kom se spratu sada nalazi?
Krećemo od −2 i idemo 5 koraka udesno po brojevnoj pravoj:
−2 + 5 = 3
Ana je na 3. spratu.
Sada od 3 idemo 4 koraka ulevo:
3 − 4 = −1
Ana je na spratu −1, dakle u prvoj podzemnoj garaži.
11Ujutru je temperatura bila −6 °C. Do podneva je porasla za 9 stepeni, a uveče je pala za 7 stepeni. Kolika je bila temperatura uveče? Prikaži rešenje na brojevnoj pravoj.
−6 + 9 = 3
Sa −6 idemo 9 koraka udesno. Prvih 6 koraka nas dovede do nule, a preostala 3 do +3.
3 − 7 = −4
Sa 3 idemo 7 koraka ulevo. Prva 3 koraka nas vrate na nulu, a preostala 4 vode do −4.
Uveče je bilo −4 °C.
12Koliko celih brojeva ima između −10 i 10, ne računajući −10 i 10? Koliko ih je između −n i n za bilo koji prirodan broj n?
Negativnih: od −9 do −1, dakle 9 brojeva.
Nula: 1 broj.
Pozitivnih: od 1 do 9, dakle 9 brojeva.
9 + 1 + 9 = 19
Isto rasuđivanje za −n i n daje (n−1) + 1 + (n−1), a to je 2n − 1.
Provera za n = 10: 2 · 10 − 1 = 19. Slaže se.
13Da li postoji najmanji negativan ceo broj? A najveći negativan ceo broj? Obrazloži.
Ne postoji. Skup celih brojeva je beskonačan ulevo — koji god negativan broj izabereš, uvek postoji manji od njega.
Postoji, i to je −1. To je negativan broj najbliži nuli. Nula nije negativna, pa ne dolazi u obzir.
14Tačka M na brojevnoj pravoj ima koordinatu −7. Tačka N je od tačke M udaljena 10 jedinica. Koje koordinate može imati tačka N?
Udaljenost ne govori na koju stranu. Zato postoje dva rešenja — jedno levo, jedno desno od tačke M.
Desno: −7 + 10 = 3
Levo: −7 − 10 = −17
Tačka N može biti u 3 ili u −17.
Proveri da li si razumeo
4 pitanja · bez prijave
01Koji od ovih brojeva NE pripada skupu Z?
Skup Z sadrži samo cele brojeve. Broj 2,5 je decimalan, pa nije ceo broj.
02Koliko iznosi −(−12)?
Tražimo suprotan broj od −12, a to je 12.
03Koja tvrdnja je tačna?
Nula je granica između pozitivnih i negativnih brojeva. Pripada skupu Z, ali ni Z⁺ ni Z⁻.
04Koji je najveći negativan ceo broj?
Broj −1 je negativan broj najbliži nuli. Najmanji negativan ne postoji, jer je skup beskonačan ulevo.
